Guía 0: Fundamentos
Esta es una guía de fundamentos iniciales sobre probabilidad y estadística y repaso de análisis multivariado y álgebra.
Ejercicio 1
Hallar la probabilidad de lanzar 3 monedas al aire y que salgan dos caras y una ceca.
Ejercicio 2
En un mazo de 40 cartas españolas, calcular la probabilidad de que al elegir una carta, ésta sea:
- Un ancho
- Una carta de espada
- El 4 de copas
Ejercicio 3
Calcular la probabilidad de que al tirar un dado de 6 caras salga:
- Un número par
- Un número impar
- Un múltiplo de dos
Ejercicio 4
Calcular la probabilidad de que al tirar dos veces un dado de 6 caras, la suma de los resultados sea 6.
Ejercicio 5
En una urna hay 4 bolas amarillas, 2 verdes, 3 azules y 1 violeta. Calcular la probabilidad de:
- Sacar una amarilla
- Sacar una verde
- Sacar una azul
- Sacar una violeta
- Sacar una roja
Ejercicio 6
Se lanzó un dado 10 veces y se obtuvieron los siguientes valores: 1, 2, 2, 4, 6, 6, 5, 6, 6, 3. Calcular la varianza.
Ejercicio 7
Se realizó un experimento aleatorio y se obtuvieron los siguientes resultados: 10,5,4,20,9.
- Calcular la varianza
- Calcular el desvio estandar
Ejercicio 8
Se lanzó un dado 4 veces y se obtuvieron los siguientes resultados: 4,2,6,5. Calcular el desvío estándar.
Ejercicio 9
Dada la siguiente tabla con resultados de observaciones de dos variables x e y, calcular el coeficiente de correlación y determinar de qué tipo de correlación se trata:
| x | y | xy | x^2 | y^2 |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 2 | 4 | 4 | 4 |
| 2 | 1 | 2 | 4 | 1 |
| 3 | 1 | 3 | 9 | 1 |
| 4 | 2 | 8 | 16 | 4 |
Ejercicio 10
Dada la siguiente tabla con resultados de observaciones de dos variables x e y, calcular el coeficiente de correlación y determinar de qué tipo de correlación se trata:
| x | y |
|---|---|
| 2 | 0.5 |
| 3 | 0.4 |
| 4 | 0.3 |
| 5 | 0.1 |
Ejercicio 11
Encontrar el mínimo y su posición en (x,y) de la función \(f(x,y) = 4x^2+2(x-2)+y^2-5\).
Ejercicio 12
Compruebe que en \(\mathbb{R}^2\) la suma de los subespacios que comprenden dos rectas distintas \(S_1\) y \(S_2\) que pasan por el origen es todo \(\mathbb{R}^2\).
Respuestas
Ejercicio 1
Definir los casos posibles y los favorables. Denoto a los eventos:
- C: salió cara
- X: salió ceca
- Y: salieron dos caras y una ceca
Casos posibles = ccc,ccx,cxc,cxx,xxx, xcc,xcx,xxc. Casos favorables = ccx,cxc,xcc
\[P(Y) = \frac{3}{8}\]Ejercicio 2
Definir los casos posibles y los favorables.
- Denoto a los eventos:
- Casos posibles = 40
- Y: “La carta elegida es un ancho”
- \[P(Y) = \frac{4}{40} = \frac{1}{10}\]
- Y: “La carta elegida es de espada”
- \[P(Y) = \frac{1}{4}\]
- Y: “La carta elegida es el 4 de copas”
- \[P(Y) = \frac{1}{40}\]
Ejercicio 3
- \[\frac{1}{2}\]
- \[\frac{1}{2}\]
- \[\frac{1}{2}\]
Ejercicio 4
Casos favorables:
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | x | |||||
| 2 | x | |||||
| 3 | x | |||||
| 4 | x | |||||
| 5 | x | |||||
| 6 |
Respuesta: \(\frac{5}{36}\)
Ejercicio 5
- \[\frac{4}{10}\]
- \[\frac{2}{10}\]
- \[\frac{3}{10}\]
- \[\frac{1}{10}\]
- \[0\]
Ejercicio 6
Calculamos el valor medio:
\[\bar{X} = 4,1\]Luego la varianza:
$$\sigma^2 = \frac{(1-4,1)^2+(2-4,1)^2+(2-4,1)^2+(4-4,1)^2+(6-4,1)^2+(6-4,1)^2+(5-4,1)^2+(6-4,1)^2+(6-4,1)^2+(3-4,1)^2}{10}$$Ejercicio 7
Varianza: \(32,88\)
Desviación: \(5,7341\)
Ejercicio 8
\[\sigma^2 = \frac{(4−3,5)^2+(2−3,5)^2+(6−3,5)^2+(5−3,5)^2}{4}\] \[\sigma = \sqrt{\sigma^2}\]Ejercicio 9
\[r = \frac{SS_{XY}}{\sqrt{SS_{XX}SS_{YY}}} = \frac{1,2}{\sqrt{5,2*1,2}} = 0,4803\]Ejercicio 10
Es una correlación negativa: \(-0.979\)
Ejercicio 11
Planteamos el gradiente y lo igualamos a 0 para encontrar mínimos y máximos locales.
El mínimo es: \(\frac{-37}{4}\) y está en \(x=-\frac{1}{4}, y=0\)